На векторах OA, OB, OC построена треугольная пирамида OABC. Требуется найти: 1) Длины ребер OA, OB, OC; 2) Величину угла AOC; 3) Площадь треугольника OAC; 4) Высоту hA треугольника AOC, опущенную из вершины A; 5) Объем пирамиды OABC; 6) Высоту пирамиды hB, опущенную из вершины B. Решить только под номер 25)
Ответы
25) Даны векторы: ОА(-3; -1; -5), ОВ(2; -4; 8), ОС(3; 7; -1).
1) Длины ребер OA, OB, OC.
ОА = √((-3)² + (-1)² + (-5)²) = √(9 + 1 + 25) = √35 ≈ 5,91608.
ОВ = √((-3)² + (-1)² + (-5)²) = √(9 + 1 + 25) = √35 ≈ 9,16515.
ОС = √(3² + 7)² + (-1)²) = √(9 + 49 + 1) = √59 ≈ 7,681146.
2) Величина угла AOC.
cos AOC = (-3*3+(-1)*7+(-5)*(-1))/(√35*√59) = -11/√2065 = -0,242065.
Угол АОС = arc cos(-0,242065) = 1,81529 = 104,0085 градуса.
3) Площадь треугольника OAC равна половине модуля векторного произведения (ОА х ОС) . а = ОА(-3; -1; -5), b = ОС(3; 7; -1).
Векторное произведение векторов
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
Подставив координаты векторов, получаем:
а*в = X Y Z Модуль (длина) Площадь треугольника
-28 14 14 34,29285 7√6 ≈ 17,14643
784 196 196 1176 это квадраты.
4) Высоту hA треугольника AOC, опущенную из вершины A, определяем по формуле hA = 2S(AOC)/OC = 14√6/√59 ≈ 4,46455.
5) Объем пирамиды OABC равен (1/6) смешанного произведения векторов (ОА х ОС) х ОВ.
ОА х ОС = (-28; 14; 14) - см. пункт 3. ОВ = (2; -4; 8) - по заданию
-28*2 - 56 + 102 = 0. Это вырожденная пирамида, все концы её векторов лежат в одной плоскости.
Последний вопрос не имеет смысла.
6) Высоту пирамиды hB, опущенную из вершины B.