Question

$1 + \frac{1}{ {2}^{3} } + \frac{1}{ {3}^{3} } + ... + \frac{1}{ {n}^{3} } < \frac{5}{4}$
n=натуральное число
надо доказать. пожалуйста помогите

Answer 1

Добрый день!

В левой части выражение записан частный случай ряда Дирихле.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}$

При a > 1 этот ряд сходится => мы можем найти сумму это ряда.

частичной суммой ряда - Sn  = $1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}}$  при а = 3

=> $\lim_{k \to \infty} 1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\cdots +{\frac {1}{k^{\alpha }}} = E(3)$

E(3) - Дзета функция Римана 3

Это число достаточно знаменитое и носит своё название - Постоянная Апери = 1,202.....

Таким образом

1.202... < 1.25

ЧТД

** Если не секрет, хотелось бы узнать в каком сборнике вы встретили такую задачу.

*** Быть может, она решается как то иначе, но ничего лучше приведённого выше решения не пришло в голову.