Question

помогите решить

1/1*3+1/3*5+1/5*7+...+1/13*15

Answer 1

Заметим, что

$\frac{1}{1*3}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{1} -\frac{1}{3})$

$\frac{1}{3*5}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$

$\frac{1}{5*7}=\frac{1}{2}*(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})$

............

$\frac{1}{13*15} =\frac{1}{2} *(\frac{1}{13}-\frac{1}{15})$

Теперь посчитаем сумму так. Вынесем $\frac{1}{2}$ за скобку

$\frac{1}{1*3} +\frac{1}{3*5} +\frac{1}{5*7} +...+\frac{1}{13*15} =\frac{1}{2}*(\frac{1}{1} -\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{13}-\frac{1}{15}) =\\\\=\frac{1}{2}*(\frac{1}{1}-\frac{1}{15})=\frac{1}{2}*\frac{14}{15} =\frac{7}{15}$

Внутри скобки все члены взаимно сокращаются кроме первого $\frac{1}{1}$ и последнего $\frac{1}{15}$.

Ответ: сумма равна $\frac{7}{15}$