Перед Васей лежит 50 кучек с 1, 2, 3, ... , 50 конфетами. За одну операцию Вася может добавить 1 конфету в одну из кучек, после чего съесть любую кучку с четным числом конфет. Если четных кучек после добавления конфеты нет, халява заканчивается. Докажите, что все конфеты Васе съесть не удастся.
Ответы
Допустим, что такое возможно и Васе удастся съесть все конфеты. Подсчитаем общее число конфет в кучках. Оно равно 51*25 = 1275, т, е. является нечетным числом. За одну операцию Вася перекладывает одну конфету и удаляет из общего числа конфет определенное четное их число. Таким образом общее число конфет после каждой операции остается нечетным числом. Для того, чтобы Вася мог съесть все конфеты, на последнем шаге у него должны остаться две кучки, в одной из которых будет одна конфета, а в другой определенное нечетное количество конфет. Но, тогда в сумме общее оставшееся количество конфет будет четным числом. Следовательно, приходим к противоречию и всех конфет Вася съесть не мог.
Ответ:
Васе не удастся съесть все конфеты
Пошаговое объяснение:
от 1 до 50 --- 25 чётных кучек и 25 нечётных кучек
1) Предположим, что Вася будет добавлять по 1 конфете в нечётные кучки конфет, что бы сделать их четными и сразу съесть. Он съест 25 кучек.
Итого: Осталось 25 чётных кучек
2) 12 чётных кучек конфет Вася съест
к 12 четным кучкам он добавил по конфете и сделает их нечетными
1 четная кучка конфет останется
Итого: Осталось 12 нечётных кучек и 1 четная
3) теперь Вася опять будет добавлять по 1 конфете в нечётные кучки конфет, что бы сделать их четными и сразу съесть. Он съест 12 кучек
Итого: 1 четная останется.
Если он в четную кучку добавит одну конфету, то получится нечётна кучка)))
Ответ: Васи не удастся съесть все конфеты