Question

Помогите решить параметр

Answer 1

$5xa^2-(26x+1)a+5x+5\leq 0\\\\5xa^2-26xa-a+5x+5\leq 0\\\\x*(5a^2-26a+5)\leq a-5$

Разлодим на множители $5a^2-26a+5$ и вернемся к решению неравенства:

$5a^2-26a+5=0\\\\D=26^2-4*5*5=(25+1)^2-4*25=25^2+2*25+1-4*25=\\\\=25^2-2*25+1=(25-1)^2=24^2\\\\a_{1,2}=\frac{26\pm24}{2*5}\\\\a_1=5\ \ \ a_2=\frac{1}{5}\\\\5a^2-26a+5=5*(a-5)*(a-\frac{1}{5})=(a-5)*(5a-1)$

тогда неравенство:

$x*(5a-1)*(a-5)\leq a-5$

решим следующее параметрическое уравнее:

$a*x\leq b$

1. если $a>0$, то $x\leq \frac{b}{a}\\\\x\in(-\infty;\ \frac{b}{a}]$
2. если $a<0$, то $x\geq \frac{b}{a}\\\\x\in[\frac{b}{a};\ +\infty)$
3. если $a=0$, то $0*x\leq b$: первый случай: если при этом также $b\geq 0$, то $x\in(-\infty;\ +\infty)$ второй случай: если же при этом $b<0$, то $x\notin(-\infty;\ +\infty)$ (т.е. нету решений)

У нас:

1. если $5*(a-5)*(a-\frac{1}{5})>0\\\\++++++(\frac{1}{5})-------(5)+++++>a\\\\a\in(-\infty;\ \frac{1}{5})\cup(5;\ +\infty)$, то $x*(5a-1)*(a-5)\leq a-5\\\\x\leq \frac{a-5}{(5a-1)*(a-5)}=\frac{1}{a-5}\\\\x\in(-\infty;\ \frac{1}{a-5}]$
2. если $5*(a-5)*(a-\frac{1}{5})<0\\\\++++++(\frac{1}{5})-------(5)+++++>a\\\\a\in(\frac{1}{5};\ 5)$, то $x*(5a-1)*(a-5)\leq a-5\\\\x\geq \frac{a-5}{(5a-1)*(a-5)}=\frac{1}{a-5}\\\\x\in[\frac{1}{a-5};\ +\infty)$
3. если $5*(a-5)*(a-\frac{1}{5})=0\\\\a=5\ \ \ or\ \ \ a=\frac{1}{5}$ первый вариант: $a=5$, тогда $x*(5*5-1)*(5-5)\leq 5-5\\\\x*0\leq 0\\\\x\in(-\infty;\ +\infty)$ второй вариант: $a=\frac{1}{5}$, тогда $x*(5*\frac{1}{5}-1)*(\frac{1}{5}-5)\leq \frac{1}{5}-5\\\\x*0\leq -4.8\\\\x\notin(-\infty;\ +\infty)$ (т.е. решений нет)

Ответ:

• при условии $a\in(-\infty;\ \frac{1}{5})\cup(5;\ +\infty)$  $x\in(-\infty;\ \frac{1}{a-5}]$
• при условии $a\in(\frac{1}{5};\ 5)$ $x\in[\frac{1}{a-5};\ +\infty)$
• при условии $a=5$ $x\in(-\infty;\ +\infty)$
• при условии $a=\frac{1}{5}$ $x\notin(-\infty;\ +\infty)$ (нету решений)

Также добавляю одну страницу по теме из Высоцкий "Задачи с параметрами при подготовке к ЭГЕ" 2011