Question

Дана окружность, диаметр MN которой равен 16. На касательной к этой окружности в точке M отложен отрезок MP, длина которого больше, чем 15. Из точки P проведена вторая касательная к окружности, пересекающая прямую MN в точке Q. Найдите площадь треугольника MPQ, если его периметр равен 72.

Answer 1

Пусть MP=x, NQ=y треугольник MPQ прямоугольный так как MP диаметр.  

По теореме о секущей LQ^2=y*(y+16) из условия

P=MP+PQ+MQ=2MP+LQ+NQ+MN=2x+y+√(y(y+16))+16=72 или  

sqrt(y(y+16))+y+2x=56  

По теореме Пифагора x^2+(16+y)^2=(√(y*(y+16))+x)^2  

Система  

{√(y(y+16))+y+2x=56  

{x^2+(16+y)^2=(√(y*(y+16))+x)^2      

(√(y(y+16))+x)^2=(56-y-x)^2

приравнивая со вторым  

(56-(y+x))^2=x^2+256+32y+y^2

56^2-112(x+y)+2xy=256+32y  

x = (72(y-20)/(y-56))  

Подставляя в первое уравнение системы

√(y(y+16))+y+(144(y-20)/(y-56)) = 56  

или

(y(y+16))  - (56 - (y+(144(y-20)/(y-56))))^2 = 0

32(y+16)(y-2)(5y-64)=.

y=2, y=64/5

при y=64/5 , x<15

при y=2, x=24>15

Значит     S(MPQ) =  x(16+y)/2 = 24*18/2 = 216