Question

Помогите решить дифференциальное уравнение второго порядка
$(1+x^2)y''+(y')^2+1=0$

Answer 1

Понизим порядок заменой $y'=u(x)$, тогда $y''=u'(x)$, получим

$(1+x^2)u'+u^2+1=0$ - уравнение с разделяющимися переменными

$\displaystyle \dfrac{du}{dx}=\dfrac{-1-u^2}{x^2+1}~~\Rightarrow~~-\int\dfrac{du}{1+u^2}=\int\frac{dx}{1+x^2}~~\Rightarrow~~ -{\rm arctg}\, u={\rm arctg}\, x+C_1$

Выполнив обратную замену $u=-{\rm tg}({\rm arctg}\, x+C_1)$, получим

$y'=-{\rm tg}({\rm arctg}\, x+C_1)\\ \\ y=\displaystyle \int -{\rm tg}({\rm arctg}\,x+C_1)dx$

$-{\rm tg}({\rm arctg}\,x+C_1)=-\dfrac{{\rm tg}({\rm arctg}\, x)+{\rm tg}\, C_1}{1-{\rm tg}({\rm arctg}\, x){\rm tg}\, C_1}=\dfrac{x+{\rm tg}\, C_1}{x{\rm tg}\, C_1-1}$

Тогда

$y=\displaystyle \int\dfrac{x+{\rm tg}\, C_1}{x{\rm tg}\, C_1-1}dx=\int \bigg(\frac{({\rm tg}^2C_1+1){\rm ctg}\, C_1}{x{\rm tg}\, C_1-1}+{\rm ctg}\, C_1\bigg)dx=\\ \\ \\ =\left({\rm tg}\, C_1+{\rm ctg}\, C_1\right)\int\frac{dx}{x{\rm tg}\, C_1-1}+{\rm ctg}\, C_1\int dx=\\ \\ \\ =({\rm tg}\, C_1+{\rm ctg}\, C_1)\cdot {\rm ctg}C_1\ln|x{\rm tg}\, C_1-1|+x{\rm ctg}\, C_1+C_2=\\ \\ \\ =\boxed{({\rm ctg}^2C_1+1)\ln|x{\rm tg}\, C_1-1|+x{\rm ctg}\, C_1+C_2}$

Answer 2

$(1+x^2)\cdot y''+(y')^2+1=0\; \; \; \to \; \; \; F(x,y',y'')=0\; \; \to \\\\u=y'(x)\; ,\; \; u'=y''\; ,\\\\(1+x^2)\cdot u'+u^2+1=0\; ,\; \; \frac{du}{dx}=-\frac{1+u^2}{1+x^2}\; ,\\\\\int \frac{du}{1+u^2}=-\int \frac{dx}{1+x^2}\\\\arctgu=-(arctgx+C_1)\; \; \Rightarrow \; \; u=-tg(arctgx+C_1)\\\\u=-\frac{tg(arctgx)+tgC_1}{1-tg(arctgx)\cdot tgC_1}\; ,\; \; \; (\; tgC_1=const\; ,\; \; tgC_1=C\; )\\\\u=-\frac{x+C}{1-C\cdot x}\; \; \to \; \; y'(x)=-\frac{x+C}{1-C\cdot x}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{x+C}{1-C\cdot x}\\\\\int dy=-\int \frac{x+C}{1-C\cdot x}\, dx\; \; ,\; \; \int dy=\int \frac{x+C}{C\cdot x-1}\, dx\\\\y=\frac{1}{C}\cdot \int \frac{x+C}{x-\frac{1}{C}}\, dx=\frac{1}{C}\cdot \int \Big (1+\frac{C+\frac{1}{C}}{x-\frac{1}{C}}\Big )\, dx=\frac{1}{C}\cdot \int \Big (1+\frac{C^2+1}{C}\cdot \frac{1}{x-\frac{1}{C}}\Big )dx=\\\\=\frac{1}{C}\int dx+\frac{C^2+1}{C}\cdot \int \frac{dx}{x-\frac{1}{C}}=\frac{1}{C}\cdot x+\frac{C^2+1}{C}\cdot ln|x-\frac{1}{C}|+C_2\; ;$

$y=\frac{x}{C}+\frac{C^2+1}{C}\cdot ln|\frac{Cx-1}{C}|+C_2$

$P.S.\; \; \int \frac{x+C}{Cx-1}\, dx=\int \frac{Cx-1+1+C^2}{Cx-1}\, dx=\int (1+\frac{C^2+1}{Cx-1})dx=\\\\=x+(C^2+1)\cdot \frac{1}{C}\, ln|Cx-1|+C_2\; ;\\\\\underline {y=x+\frac{C^2+1}{C}\cdot ln|Cx-1|+C_2\; ,\; \; C=tgC_1\; ,\; \frac{1}{C}=ctgC_1}$