Question

Найдите координаты вершины параболы, если известно, что эта

парабола проходит через точки A(5;2), B(7;1) и C(-3;3).

Answer 1

Ответ:

$\tt \displaystyle x_{0}=-\frac{2}{3} \\\\y_{0}=3\frac{49}{240}$

Объяснение:

Общий вид уравнения параболы с неизвестными коэффициентами:

$\tt \displaystyle y=a \cdot x^{2} +b \cdot x+c,$

для которой координаты вершины определяется по формулам

$\tt \displaystyle x_{0}=-\frac{b}{2 \cdot a}, \; y_{0}=a \cdot x_{0}^{2} +b \cdot x_{0}+c.$

Так как парабола проходит через точки A(5; 2), B(7; 1) и C(-3; 3), подставляя координаты точек в общий вид уравнения и находим неизвестные коэффициенты из системы уравнений.

$\tt \displaystyle \left \{\begin{array}{ccc}2=a \cdot 5^{2} +b \cdot 5+c\\1=a \cdot 7^{2} +b \cdot 7+c\\3=a \cdot (-3)^{2} +b \cdot (-3)+c\end{array}\right \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}25 \cdot a +5 \cdot b+c=2\\49 \cdot a + 7 \cdot b+c=1\\9 \cdot a -3 \cdot b+c=3\end{array}\right$

Вычтем третье уравнение из первого и второго, потом первое уравнение умножим на 5, а второе уравнение умножим на 2:

$\tt \displaystyle \left \{\begin{array}{ccc}16 \cdot a +8 \cdot b=-1\\40 \cdot a + 10 \cdot b=-2\\9 \cdot a -3 \cdot b+c=3\end{array}\right \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}80 \cdot a +40 \cdot b=-5\\80 \cdot a + 20 \cdot b=-4\\9 \cdot a -3 \cdot b+c=3\end{array}\right$

Вычтем второе уравнение из первого:

$\tt \displaystyle \left \{\begin{array}{ccc}20 \cdot b=-1\\80 \cdot a + 20 \cdot b=-4\\9 \cdot a -3 \cdot b+c=3\end{array}\right \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}b=-0,05\\80 \cdot a =-4- 20 \cdot (-0,05)\\c=3-9 \cdot a +3 \cdot (-0,05) \end{array}\right \Leftrightarrow$

$\tt \displaystyle \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}b=-0,05\\80 \cdot a =-4+1\\c=3-9 \cdot a -0,15 \end{array}\right \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}b=-0,05\\80 \cdot a =-3\\c=2,85-9 \cdot a \end{array}\right \Leftrightarrow$

$\tt \displaystyle \Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ccc}b=-0,05\\a =-0,0375\\c=2,85-9 \cdot (-0,0375) =3,1875 \end{array}\right$

Тогда уравнения параболы имеет вид:

$\tt \displaystyle y=-0,0375 \cdot x^{2} -0,05 \cdot x+3,1875.$

Находим координаты вершины параболы:

$\tt \displaystyle x_{0}=-\frac{-0,05}{2 \cdot (-0,0375)}=-\frac{0,05}{0,075}=-\frac{2}{3} \\\\y_{0}=-0,0375 \cdot (-\frac{2}{3})^{2} -0,05 \cdot (-\frac{2}{3})+3,1875=\\\\=-0,0375 \cdot \frac{4}{9} +\frac{0,1}{3}+\frac{51}{16} =\frac{0,05}{3}+\frac{51}{16}=\\\\=\frac{1}{60}+\frac{51}{16}=\frac{4}{240}+\frac{765}{240}=\frac{769}{240}=3\frac{49}{240}$