Question

$2^{x^{2}+5} +5^{x^{2}+2} \leq 35+\sqrt{100-x^{2} } +\sqrt{144-x^{2} }$
Решите неравенство

Answer 1

$x^2=t\ge 0;\ 2^{t+5}+5^{t+2}\le 35+\sqrt{100-t}+\sqrt{144-t};$ в левой части стоит возрастающая функция, в правой - убывающая. При t=0 левая часть равна правой (32+25=57=35+10+12). Поэтому неравенство справедливо при $t\le 0.$ Но, как замечено в самом начале, $t\ge 0\Rightarrow t=0\Rightarrow x=0.$

Ответ: 0

Замечание. Можно было воспользоваться не монотонностью (после замены), а ограниченностью, при этом замену делать не надо: левая часть принимает минимальное значение, равное 57,  при x=0; правая часть принимает максимальное значение, также равное 57, при x=0.