Question

в правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно √39, а сторона основания равна 6. Найдите объем пирамиды

Answer 1

Проекция AO бокового ребра L =SA на основание равна (2/3)h, где h - высота основания.

AO = (2/3)*(6√3/2) = 2√3.

Находим высоту пирамиды Н = √(L² - AO²) = √(39 - 12) = √27 = 3√3.

Площадь основания So = a²√3/4 = (36√3)/4 = 9√3.

Объём пирамиды V = (1/3)SoH = (1/3)*(9√3)*(3√3) = 27 куб.ед.

Answer 2

Имеем $V = \frac{1}{3}Sh$.

В основании лежит правильный треугольник, значит площадь его $S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 9\sqrt{3}$.

Радиус описанной окружности равен $R = a\frac{\sqrt{3}}{6} = 2\sqrt{3}$.

Найдём по теорема Пифагора высоту:

$h = \sqrt{(\sqrt{39})^2 - R^2} = \sqrt{27}$.

Откуда площадь:

$\boxed{V = \frac{1}{3}*9\sqrt{3}*\sqrt{27} = 27}$