Question

Нужно помощь, можете решить под цыфрой 2

Answer 1

Найдем сначала собственные числа матрицы

$\left|\begin{matrix}2-x& -1&0\\-1& 2-x&0\\1& -1&1-x\end{matrix}\right|=0\Rightarrow (1-x)(4-2x-x^2-1)=0\Rightarrow\\(1-x)(3-2x-x^2)=0\Rightarrow(x-1)^2(x-3)=0\Rightarrow x_1=1,x_2=3.$

Теперь найдем собственные векторы

$x=1,\,\,\left(\left.\begin{matrix}1& -1&0\\-1& 1&0\\1& -1&0\end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right)\rightarrow \left(\left.\begin{matrix}1& -1&0\end{matrix}\right|\begin{matrix}0\end{matrix}\right)\rightarrow \vec{a}_1=(1,1,0),\,\vec{a}_2=(0,0,1).$

$x=3,\,\,\left(\left.\begin{matrix}-1& -1&0\\-1& -1&0\\1& -1&-2\end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\0\\0\end{matrix}\right)\rightarrow \left(\left.\begin{matrix}1& 1&0\\1& -1&-2\end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)\rightarrow\left(\left.\begin{matrix}1& 1&0\\0& 1&1\end{matrix}\right|\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)\rightarrow\\\rightarrow \vec{a}_3=(1,-1,1).$