Question

Решить задачу
Окружность вписана в прямоугольный треугольник. Точка касания делит гипотенузу на части 6 см и 8 см. Найдите площадь треугольника (в см^2)

Answer 1

AK=AM=6 см,

BF=BM=8 см,

CK=CF=x см.

2) AB=AM+BM=6+8=14 см,

AC=AK+CK=(6+x) см,

BC=BF+CF=(8+x) см.

3) По теореме Пифагора:

   \[A{C^2} + B{C^2} = A{B^2}\]

   \[{(6 + x)^2} + {(8 + x)^2} = {14^2}\]

   \[36 + 12x + {x^2} + 64 + 16x + {x^2} = 196\]

   \[2{x^2} + 28x - 96 = 0\]

   \[{x^2} + 14x - 48 = 0\]

   D=1{4^2}-4*1*(-48)= 1552

   x= sqrt(97)-7

Второй корень не подходит по смыслу задачи. Значит, CA=14 см, AC=8+sqrt(97)-7 см, BC=6+sqrt(97)-7 см.

OM=OK=OF=sqrt(97)-7

4) Площадь

S=AM*OM+AK*OK+OK*OF=8*x+6*x+{x^2}

S=(14+x)*x

S=(14+sqrt(97)-7)*(sqrt(97)-7)

S=(sqrt(97)+7)*(sqrt(97)-7)

S=97-{7^2}

S=48 с{м^2}