Question

найдите наименьшее положительное значение дроби:
$\frac{a {}^{2} + 6a + 16}{ 5 + 8b - b {}^{2} }$

Answer 1

Ответ:

$\frac{1}{3}$

Пошаговое объяснение:

Чтобы дробь достигала минимального значения, числитель должен быть минимален, а знаменатель - максимальным. Заметим, что как в числителе, так и в знаменателе квадратные уравнения относительно a и b, причем в уравнении относительно a, минимальное значение которого нас интересует, коэффициент возле x² больше нуля, следовательно, ветки параболы направлены вверх, и минимальное значение функция принимает в вершине параболы.

В уравнении относительно b ветки параболы направлены вниз, следовательно, максимальное значение достигается так же в вершине параболы.

Вычислим абсциссы вершин парабол по формуле x=$-\frac{b}{2a}$, где a и b - коэффициенты перед x² и x соответственно.

Абсцисса вершины параболы для функции относительно a x=$-\frac{6}{2} =-3$.

Значение ординаты в этой точке найдём, подставив полученное значение x в уравнение, получим:

y=9-18+16=7

Проделаем то же для уравнения в знаменателе, получим:

x=$-\frac{8}{-2} =4$

y=5+32-16=21

Минимальное положительное значение дроби: $\frac{7}{21} =\frac{1}{3} .$