Question

√2cosx-sinx=√3
Объясните полное решение

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

√2cosx-sinx=√3;

Подстановка: cosx = $\frac{1-tg^2\frac{x}{2} }{1+tg^2\frac{x}{2}}$;

sinx = $\frac{2tg\frac{x}{2} }{1+tg^2\frac{x}{2}}$

$\sqrt{2} \frac{1-tg^2\frac{x}{2} }{1+tg^2\frac{x}{2}}-\frac{2tg\frac{x}{2} }{1+tg^2\frac{x}{2}}=\sqrt{3};\\ \sqrt{2}(1-tg^2\frac{x}{2} })-2tg\frac{x}{2} =\sqrt{3}(1+tg^2\frac{x}{2});\\\sqrt{2}-\sqrt{2}tg^2\frac{x}{2}-2tg\frac{x}{2} =\sqrt{3}+\sqrt{3}tg^2\frac{x}{2};\\\sqrt{3}tg^2\frac{x}{2}+\sqrt{2}tg^2\frac{x}{2}+2tg\frac{x}{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=0;\\(\sqrt{3}+\sqrt{2})tg^2\frac{x}{2}+2tg\frac{x}{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}=0;$

Замена:

$tg\frac{x}{2}=t$

$(\sqrt{3}+\sqrt{2})t^2+2t+\sqrt{3}-\sqrt{2}=0;$

$D=4-4(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=0;\\t_1=t_2=\frac{-2}{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{-1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$

Возвращаемся к замене:

$tg\frac{x}{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3}$

$tg\frac{x}{2}=\sqrt{2}-\sqrt{3};\\\frac{x}{2}=arctg(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\pi n\\x=2arctg(\sqrt{2}-\sqrt{3})+2\pi n$