Question

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) вписано круг. Через конец диаметра, перпендикулярно к основанию AC, провели касательную, которая пересекает стороны BA и BC в точках K и M соответственно. Найдите периметр четырехугольника AKMC, если периметр треугольника ABC равен 60 см, периметр треугольника BKM равен 20 см, KM: CA = 1 : 3.

Answer 1

Т.к. KM и AC перпендикулярны одному и тому же диаметру окружности, то они параллельны. Следовательно треугольники ABC и ВКМ подобны. Коэффициент подобия найдем из отношения их периметров: k = 60 / 20 = 3

$P_{AKMC}=AK+KM+MC+AC=AB-BK+KM+BC-BM+AC+KM-KM=(AB+BC+AC)-(BK+BM+KM)+2KM=P_{ABC}-P_{BKM}+2KM$

Найдем КМ. Т.к. в четырехугольник AKMC вписана окружность, то суммы его противоположных сторон равны:

$AK+MC=AC+KM\\AB-BK+BC-BM=AC+KM$

К левой и правым частям добавим AC и вычтем KM:

$AB-BK+BC-BM+AC-KM=AC+KM+AC-KM\\AB+BC+AC-(BK+BM+KM)=2AC\\P_{ABC}-P_{BKM}=2AC\\2AC=40\\AC=20$

Откуда KM = 20 / 3

$P_{AKMC}=P_{ABC}-P_{BKM}+2KM=60-20+\frac{2}{3}*20=\frac{160}{3}$