Question

1. Даны вершины треугольника ABC: Найти:
а) уравнение стороны АВ;
б) уравнение высоты CH;
в) уравнение медианы AM;
г) уравнение биссектрисы ВС;
д) точку N пересечения медианы AM и высоты CH;
е) уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;
ж)угол между прямыми АВ и АС.
A (3, -1) B (11, 3) С (-6, 2)
A (x1,y1) B(x2,y2) C(x3,y3)

Answer 1

$A(3,-1)\; ,\; \; B(11,3)\; ,\; \; C(-6,2)\\\\1)\; \; AB:\; \; \frac{x-3}{11-3}=\frac{y+1}{3+1}\; \; ,\; \; \frac{x-3}{8}=\frac{y+1}{4}\; ,\; \; \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{1}\; ;\\\\2)\; \; CH\perp AB\; \; \to \; \; \vec{n}_{CH}=\vec{s}_{AB}=(2,1)\\\\CH:\; \; 2\cdot (x+6)+1\cdot (y-2)=0\; ,\; \; 2x+y+10=0\; ;\\\\3)\; \; BM=MC\; ,\; \; x_{M}=\frac{11-6}{2}=2,5\; \; ;\; \; y_{M}=\frac{3+2}{2}=2,5\\\\AM:\; \; \frac{x-3}{2,5-3}=\frac{y+1}{2,5+1}\; ,\; \; \frac{x-3}{-0,5}=\frac{y+1}{3,5}\; ,\; \; \frac{x-3}{-1}=\frac{y+1}{7}$

$AM:\; \; 7x+y-20=0$

BL - биссектриса

$4)\; \; \overline {BA}=(-8,-4)\; \; ,\; \overline {BC}=(-17,-1)\; ,\\\\|\overline {BA}|=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt5\; ,\; |\overline {BC}|=\sqrt{17^2+1^2}=\sqrt{290}\\\\\vec{s}_{BL}=\vec{BA^\circ }+\vec{BC^\circ }=(\frac{-8}{4\sqrt5}\, ,\, \frac{-4}{4\sqrt5})+(\frac{-17}{\sqrt{290}}\, ,\, \frac{-1}{\sqrt{290}})=\\\\=(-\frac{2}{\sqrt5}-\frac{17}{\sqrt{290}}\, ;\, -\frac{1}{\sqrt5}-\frac{1}{\sqrt{290}})=(-\frac{2\sqrt{58}+17}{\sqrt{290}}\, ;\, -\frac{\sqrt{58}+1}{\sqrt{290}})$

$BL:\; \; \frac{x-11}{2\sqrt{58}+17}=\frac{y-2}{\sqrt{58+1}}\\\\5)\; \; \left \{ {{7x+y-20=0} \atop {2x+y+10=0}} \right. \ominus \left \{ {{5x-30=0} \atop {2x+y+10=0}} \right. \; \left \{ {{x=6} \atop {y=-22}} \right. \; \; \Rightarrow \; \; N(6,-22)\\\\6)\; \; l\parallel AB\; ,\; C\in l\; \; ,\; \; \vec{s}_{AB}=(2,1)\\\\l:\; \; \frac{x+6}{2}=\frac{y-2}{1}\\\\7)\; \; \vec{s}_{AB}=(2,1)\; ,\; \overline {AC}=(-9,3)\; ,\; \; \vec{s}_{AC}=(-3,1)\\\\\alpha =\angle (AB,AC)\\\\cos\alpha =\frac{2\cdot (-3)+1\cdot 1}{\sqrt{2^2+1^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2}}=\frac{-5}{5\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt2}{2}\\\\\alpha =135^\circ$