Question

найдите число корней уравнения
$x {}^{5} + x {}^{3} + 1 = 0$

Answer 1

Можно исследовать функцию
$y = {x}^{5} + {x}^{3} + 1$

С помощью производной

$y' = 5 {x}^{4} + 3 {x}^{2} = {x}^{2} (5 {x}^{2} + 3)$
$y' = 0$
${x}^{2} (5 {x}^{2} + 3) = 0 \\ x_{1} = 0 \\ x_{2} = 0$
Отмечаем на числовой оси полученные нули производной и определяем промежутки знакопостоянства:

++++++[0]+++++>х

Там где производная положиьельная, сама функция возрастает

Изначальная функция непрерывна в точке х=0, поэтому


$y = {x}^{5} + {x}^{3} + 1$
Возрастает на всей числовой оси, то есть (-оо; +оо)

Если функция возрастающая, определена на всей числовой оси и имеет область значений Е(у) =(-оо;+оо), то она пересекает ось Ох в одной точке.

Следовательно, исходное уравнение имеет всего лишь один корень

Ответ: 1 корень

P.S. можно также построить график и по нему уже точно сказать, что уравнение имеет 1 корень