Question

Вычислить пределы функции

Answer 1

Согласно второму замечательному пределу

$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x} \right)^{x}=e$

получим

$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{5}{7x} \right)^{2x}= \lim_{x \to \infty} \left(\left(1+\frac{1}{\frac{7x}{5}} \right)^{\frac{7x}{5}}\right)^\frac{10}{7}=e^\frac{10}{7}$

Если х стремится к нулю, то полученную неопределенность, используя экспоненциальное представление, раскрываем с помощью правила Лопиталя:

$\lim_{x \to 0} \left(1+\frac{5}{7x} \right)^{2x}=\{\infty^0\}=\lim_{x \to 0} e^{2x\ln\left(1+\frac{5}{7x} \right)}=\\=\lim_{x \to 0} e^{\frac{\ln\left(1+\frac{5}{7x} \right)}{\frac{1}{2x}}}=e^\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+\frac{5}{7x} \right)}{\frac{1}{2x}}}=e^\lim_{x \to 0} \frac{\frac{7x}{7x+5}\cdot\left(-\frac{5}{7x^2}\right)}{-\frac{1}{2x^2}}}=e^0=1.$