Question

Помогите с алгебры. Даю 50 баллов.
8 класс. Тема: Квадратные корни и действительные числа
1) Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
1. 23/5+корень2;
2. 48/корень17 - корень5.
2) Вынесите множитель из-под знака корня:
1. корень а¹¹
2. корень 2х¹⁴, если х < 0.
3) Найдите значение выражения:
(корень11+2корень30 + корень11-2корень30)²

Answer 1

$1)\; \; \frac{23}{5+\sqrt2}=\frac{23(5-\sqrt2)}{(5+\sqrt2)(5-\sqrt2)}=\frac{23(5-\sqrt2)}{5^2-2}=5-\sqrt2\; ;\\\\\frac{48}{\sqrt{17}-\sqrt5}=\frac{48(\sqrt{17}+\sqrt5)}{(\sqrt{17}-\sqrt5)(\sqrt{17}+\sqrt5)}=\frac{48(\sqrt{17}+\sqrt5)}{17-5}=4(\sqrt{17}+\sqrt5)\; .\\\\2)\; \; \sqrt{a^{11}}=\sqrt{a^{10}\cdot a}=\sqrt{(a^5)^2\cdot a}=|a^5|\cdot \sqrt{a}=a^5\cdot \sqrt{a}\; \; ,\; \; (a\geq 0)\; ;$

Так как "а" стоит под знаком квадратного корня, то по определению арифметического квадр. корня а≥0, поэтому а⁵≥0  и  |а⁵|=a⁵ .

$x<0\; ,\; \; \sqrt{2x^{14}}=\sqrt{2\cdot (x^7)^2}=|x^7|\cdot \sqrt{2}=|x|^7\cdot \sqrt{2}=(-x)^7\cdot \sqrt2=$

$=-x^7\cdot \sqrt2\; ;\\\\\\\star \; \; \; \sqrt{A^2}=|A|=\left \{ {{A\; ,\; esli\; A\geq 0\; ,} \atop {-A\; ,\; esli\; A<0\; .}} \right. \; \; ;\; \; \; |A^{k}|=|A|^{k}\; \; \star \\\\\\\\3)\; \; (\sqrt{11+2\sqrt{30}}+\sqrt{11-2\sqrt{30}})^2=\\\\=11+2\sqrt{30}+2\sqrt{(11+2\sqrt{30})(11-2\sqrt{30})}+11-2\sqrt{30}=\\\\=22+2\sqrt{121-4\cdot 30}=22+2=24$