Question

Найти производные функции.
Дайте пожалуйста развернутый ответ.

Answer 1

$1)\; \; y=(\frac{1}{5}x^5-3x\sqrt[3]{x}-4)^5\; \; ,\; \; (u^5)'=5u^4\cdot u'\\\\y'=5\cdot (\frac{1}{5}x^5-3x^{\frac{4}{3}}-4)\cdot (\frac{1}{5}\cdot 5x^4-3\cdot \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}-4)\\\\2)\; \; y=arctg\sqrt{x-1}\; ,\; \; \; (arctgu)'=\frac{1}{1+u^2}\cdot u'\\\\y'=\frac{1}{1+(x-1)}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{2x\sqrt{x-1}}\\\\3)\; \; y=\sqrt{x}\cdot ctg3x-2^{x^2}\\\\y'=(\sqrt{x})'\cdot ctg3x+\sqrt{x}\cdot (ctg3x)'-2^{x^2}\cdot ln2\cdot (x^2)'=$

$=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot ctg3x+\sqrt{x}\cdot \frac{-1}{sin^23x}\cdot 3-2^{x^2}\cdot ln2\cdot 2x\\\\4)\; \; y=\sqrt{\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{2x}}}\; \; ,\; \; (\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\\\\y'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{2x}}}}\cdot \frac{(1-e^{-2x})'(1+e^{2x})-(1-e^{-2x})(1+e^{2x})'}{(1+e^{2x})^2}=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{1+e^{2x}}{1-e^{-2x}}}\cdot \frac{2e^{-2x}(1+e^{2x})-2e^{2x}(1-e^{-2x})}{(1+e^{2x})^2}=\frac{1}{\sqrt{1-e^{-2x}}}\cdot \frac{e^{-2x}-e^{2x}+2}{\sqrt{(1+e^{2x})^3}}$

$5)\; \; y=lny+\frac{x}{4}-5\\\\y'=\frac{y'}{y}+\frac{1}{4}\\\\y'\cdot (1-\frac{1}{y})=\frac{1}{4}\\\\y'\cdot \frac{y-1}{y}=\frac{1}{4}\\\\y'=\frac{y}{4\cdot (y-1)}$