Question

Найти неопределенные интегралы, результаты проверить дифференцированием. Дайте пожалуйста развернутый ответ!

Answer 1

$1)\; \; \int (2x^7-5\sqrt[4]{x^3}+7)\, dx=2\cdot \frac{x^8}{8}-5\cdot \frac{4x^{\frac{7}{4}}}{7}+7x+C=\\\\=\frac{x^8}{4}-\frac{20}{7}\cdot x^{\frac{7}{4}}+7x+c\; ;\\\\(\frac{x^8}{4}-\frac{20}{7}\cdot x^{\frac{7}{4}}+7x+C)'=\frac{1}{4}\cdot 8x^7-\frac{20}{7}\cdot \frac{7}{4}x^{\frac{3}{4}}+7+0=\\\\=2x^7-5x^{\frac{3}{4}}+7$

$2)\; \; \int x\cdot e^{3x^2+1}\, dx=[\; t=3x^2+1\; ,\; \; dt=6x\, dx\, ]=\frac{1}{6}\int e^{t}\, dt=\\\\=\frac{1}{6}\cdot e^{t}+C=\frac{1}{6}\cdot e^{3x^2+1}+C\; ;\\\\(\frac{1}{6}\cdot e^{3x^2+1}+C)'=\frac{1}{6}\cdot e^{3x^2+1}\cdot 6x+0=x\cdot e^{3x^2+1}$

$3)\; \; \int x^3\cdot lnx\, dx=[\, u=lnx,\; du=\frac{dx}{x},\; dv=x^3\, dx\; ,\; v=\frac{x^4}{4}\, ]=\\\\=\frac{x^4}{4}\cdot lnx-\frac{1}{4}\int x^3\, dx=\frac{x^4}{4}\cdot lnx-\frac{1}{4}\cdot \frac{x^4}{4}+C\; ;\\\\(\frac{x^4}{4}\cdot lnx-\frac{1}{4\cdot 4}\cdot x^4+C)'=\frac{1}{4}\cdot 4x^3\cdot lnx+\frac{x^4}{4}\cdot \frac{1}{x}-\frac{1}{4\cdot 4}\cdot 4x^3+0=\\\\=x^3\cdot lnx+\frac{x^3}{4}-\frac{x^3}{4}=x^3\cdot lnx$