Question

2^(n+2)*3^n+5n-4 делится на 25 помогите доказать

Answer 1

Пусть A=2ⁿ⁺²*3ⁿ+5n-4

1) n=1: A₁=2³*3¹+5*1-4=24+1=25⋮25

2) Пусть 2ⁿ⁺²*3ⁿ+5n-4 ⋮ 25 для некоторого n=k, то есть $A_k=2^{k+2}*3^k+5k-4$⋮25. Докажем, что условие верно и для n=k+1

Получаем: $A_{k+1}=2^{k+3}*3^{k+1}+5k+5-4=2^{k+3}*3^{k+1}+5k+1=(2^{k+2}*3^k+5k-4)*6-25k+25=A_k*6+25(1-k)$

$A_k$⋮25=>$(A_k*6)$⋮25;

25(1-k)⋮25;

Значит $A_{k+1}$⋮25.

Ч.т.д.

______________________

Доказано методом математической индукции