Question

Решите тригонометрическое уравнение. Срочно.

Answer 1

$2sin^{2}x-cos^{2}x*sinx=0$

Используем основное тригонометрическое тождество :

$sin^2x+cos^2x=1$

Отсюда получаем, что $cos^2x=1-sin^2x$

Подставляем это в уравнение, и получаем:

$2sin^2x-(1-sin^2x)*sin^x=0$

Далее открываем скобки и решаем уравнение:

$2sin^2x-sin^x+sinx^3=0$

Разложим на множители:

$sinx(2sinx-1+sin^2x)=0$

Получаем два уравнения:

$\left \{ {{sin x = 0} \atop {sin^x-1+sin^2x}} \right.$

Первое простейшее тригонометрическое уравнения, где получаем, что x = arcsin(0); x =πk

Второе тригонометрическое уравнение решим через замену :

$sinx-1+sin^2x=0\\t=sinx\\t-1+t^2=0\\D=b^2-4ac=(-1)^2-4*(-1)*1=1+4=5; D>0$

$\left \{ {{t_{1} =\frac{1-\sqrt{5} }{2} } \atop {t_{2}=\frac{1+\sqrt{5} }{2}}} \right.$

Возвращаемся к замене sinx = t, получаем

x = $(-1)^{k}$arcsin($\frac{1+-5}{\sqrt{2}}$)+πk;

Ответ: x = πk, x = $(-1)^{k}$ $arcsin(\frac{1+-5}{\sqrt{2}})$+πk; k ∈ Ζ.