Question

найти интервал сходимости степенного ряда

Answer 1

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{(2n-1)^{n}\, (x+1)^{n}}{2^{n-1}\cdot n^{n}}=\sum \limits _{n+1}^{\infty }\, \frac{2\cdot (2n-1)^{n}\cdot |x+1|^{n}}{2^{n}\cdot n^{n}}\\\\Koshi:\; \; \lim\limits _{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{2\cdot (2n-1)^{n}\cdot |x+1|^{n}}{(2n)^{n}}}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \frac{2^{1/n}\cdot (2n-1)\cdot (x+1)}{2n}=\\\\=|x+1|\cdot \lim\limits _{n \to \infty}\frac{1\cdot (2n-1)}{2n}=|x+1|\cdot 1<1\\\\-1<x+1<1\\\\-2<x<0\\\\x=0:\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{2(2n-1)^{n}}{(2n)^{n}}$

$Neobxjdimuj\; priznak:\; \lim\limits _{n \to \infty}a_n=\lim\limits _{n \to \infty}\, 2\cdot \Big (\frac{2n-1}{2n}\Big )^{n}=\\\\=2\cdot \lim\limits_{n \to \infty}\Big (\Big (1+\frac{-1}{2n}\Big )^{-2n}\Big )^{\frac{n}{-2n}}=2\cdot e^{-\frac{1}{2}}=\frac{2}{\srqt{e}}\ne 0\; \; \Rightarrow \; \; rasxoditsya\\\\x=-2:\; \; \sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\cdot 2\cdot \Big (\frac{2n-1}{2n}\Big )^{n}\; -\; rasxoditsya\\\\Otvet:\; \; x\in (-2,0)\; .$