Question

Исходя из ОПРЕДЕЛЕНИЯ производной, найти производную функции:

Answer 1

Для решения потребуются следующее:

1) Определение числа е (числа Эйлера)

$\ \lim\limits_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n} )^n=e$

2) логарифмирование функций:

$f(x)=g(x) \ \ => \ \ \log_af(x)=\log_ag(x)$

3) свойства логарифмов:

$\log_aa=1 \\ \\ k\cdot \log_ab=\log_ab^k$

$\frac{1}{\log_ab} =\log_ba$

$\log_ea=\ln a$

4) Свойства пределов для непрерывной функции:

$\lim\limits_{x \to x_0}k \cdot f(x)=k \cdot \lim\limits_{x \to x_0} f(x), \ \ k=const$

$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} =\frac{ \lim\limits_{x \to x_0}f(x)}{ \lim\limits_{x \to x_0}g(x)} \\ \\ \lim\limits_{x \to x_0} (\log_af(x))=\log_a( \lim\limits_{x \to x_0}f(x))$

В нашем случае предел будем брать по Δх, значит всё что не содержит Δх будет являться константой!

(то есть для данного решения выражение 3 в степени (2x+1) будет константа, а значит в ходе решения будет выносится перед пределом!)

Решение:

$y=3^{2x+1} \\ \\ y'= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3^{2(x+\Delta x)+1}-3^{2x+1} }{\Delta x}=\\ \\ =\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3^{2x+2\Delta x+1}-3^{2x+1} }{\Delta x}= \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3^{2x+1}(3^{2\Delta x}-1) }{\Delta x}=3^{2x+1} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{3^{2\Delta x}-1}{\Delta x}$

Введем замену:

$3^{2\Delta x}-1=t$

если Δх→0, значит 3²*⁰-1=1-1=0, то есть t→0

Выразим Δх:

$3^{2\Delta x}-1=t\\ 3^{2\Delta x}=t+1 \\ \\ \log_33^{2\Delta x}=\log_3(t+1) \\ \\ 2\Delta x=\log_3(t+1) \\\\ \Delta x =\frac{\log_3(t+1)}{2}$

Подставляем данную замену в предел и продолжаем дальше считать:

$y'=3^{2x+1} \cdot \lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{\frac{\log_3(t+1)}{2}}= 3^{2x+1} \cdot \lim\limits_{t \to 0} \frac{2t}{\log_3(t+1)}= 2 \cdot3^{2x+1} \cdot \lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{\log_3(t+1)}$

Делаем еще одну замену:

$t=\frac{1}{n} \ \ =>\ \ n=\frac{1}{t}\\ \\ n \to \frac{1}{0} \\ \\ n\to \infty\\ \\ y'=2 \cdot3^{2x+1} \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n\log_3(\frac{1}{n} +1)}=2 \cdot3^{2x+1} \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{\log_3(\frac{1}{n} +1)^n}=\\ \\ =2 \cdot3^{2x+1} \cdot \frac{1}{\lim\limits_{n \to \infty}( \log_3(1+\frac{1}{n} )^n)}=2 \cdot3^{2x+1} \cdot \frac{1}{\log_3 (\lim\limits_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n} )^n)}=$

$=2 \cdot3^{2x+1} \cdot \frac{1}{\log_3 e}=2 \cdot3^{2x+1} \cdot \ln3 \\ \\ OTBET: \ y'=2 \cdot3^{2x+1} \cdot \ln3$