Question

Очень нужно
Даю 25б
.........

Answer 1

$\sum\limits_{k=1}^n\frac{k^2}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^n\frac{(4k^2-1)+1}{4k^2-1}=\frac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^n(1+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)})=$

$=\frac{n}{4}+\frac{1}{8}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\ldots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})=\frac{n}{4}+\frac{1}{8}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{n}{4}+\frac{n}{4(2n+1)}$

У нас n=500; первое слагаемое превращается в 125, а второе меньше 1. Поэтому целая часть равна 125.

Ответ: 125

Замечание. Мы воспользовались важным равенством, которое полезно помнить наизусть:

$\frac{1}{ N(N+K)}=\frac{1}{K}(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+K})$