Question

x^2+y^2=20
xy=8
решите пожалуйста

Answer 1

$x^2+y^2=20\\xy=8$

Выделим в первом уравнении полный квадрат:

$x^2+2xy+y^2-2xy=20\\(x+y)^2=20+2xy\\(x+y)^2=2+16=36\\x+y=\pm 6$

Сначала рассмотрим вариант $x+y=6$. Применяя обратную теорему Виета, составим уравнение:

$t^2-6t+8=0\\D=36-32=4\\t_1=\dfrac{6+2}{2}=4, \qquad t_2=\dfrac{6-2}{2}=2$

Это значит, что есть две пары решений: $(4;2)$ и $(2;4)$

Теперь рассмотрим вариант $x+y=-6$:

$t^2+6t+8=0\\D=36-32=4\\t_1=\dfrac{-6+2}{2}=-2, \qquad t_2=\dfrac{-6-2}{2}=-4$

Ответ: $(4;2), \; (2;4), \; (-4;-2), \; (-2;-4)$.