Question

Помогите решить уравнение!!!
sin^4 x+sin^4 (p/4+x)+sin^4 (x-p/4)=0,5

Answer 1

sin⁴x + sin⁴( п/4 + x ) + sin⁴( х - п/4 ) = 1/2

Преобразуем данное выражение, упростив слагаемые, то есть рассмотрев каждое из слагаемых:

▪sin⁴( x + п/4 ) = (  sin( x + п/4 )  )⁴ = ( V2/2•sinx + V2/2•cosx  )⁴ = (  V2/2•( sinx + cosx )  )⁴ = 1/4 • ( sinx + cosx )⁴ = 1/4 • (  ( sinx + cosx )²  )² = 1/4 • ( 1 + sin2x )² = 1/4 • ( 1 + 2sin2x + sin²2x ) = 1/4 + sin2x/2 + sin²2x/4

▪sin⁴( x - п/4 ) = (  sin( x - п/4 )  )⁴ = (  V2/2•sinx - V2/2•cosx  )⁴ = (  V2/2•( sinx - cosx )  )⁴ = 1/4 • ( sinx - cosx )⁴ =  1/4 • (  ( sinx - cosx )²  )² = 1/4 • ( 1 - sin2x )² = 1/4 • ( 1 - 2sin2x + sin²2x ) = 1/4 - sin2x/2 + sin²2x/4

sin⁴x  + 1/4 + sin2x/2 + sin²2x/4 + 1/4 - sin2x/2 + sin²2x/4 = 1/2

sin⁴x + sin²2x/2 = 0

2sin⁴x + ( 2sinx•cosx )² = 0

2sin⁴x + 4sin²x•cos²x = 0

2sin²x • ( sin²x + 2cos²x ) = 0

1)  2sin²x = 0   ⇒  sinx = 0  ⇒  x = пn , n ∈ Z

2)  sin²x + 2cos²x = 0  ,  делим обе части на cos²x ≠ 0

tg²x + 2 = 0

tg²x = - 2  ⇒  не имеет смысла  ∅

Ответ: х = пn , n ∈ Z