Question

помогите с интегралом

Answer 1

$\int \frac{2x^2+4x+20}{(x+1)(x^2-4x+13)}=Q\\\\\frac{2x^2+4x+20}{(x+1)(x^2-4x+13)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+13} \\\\2x^2+4x+20=A(x^2-4x+13)+(Bx+C)(x+1)\\\\x=-1:\; \; 2-4+20=A(1+4+13)\; ,\; \; A=\frac{18}{18}=1\\\\x^2\; |\;  2=A+B\; \; \to \; \; B=2-A=2-1=1\\x\; \; |\; 4=-4A+B+C\; ,\; \; 4=-4+1+C\; ,\; C=7\\\\Q=\int \frac{dx}{x+1}+\int \frac{(x+7)dx}{x^2-4x+13}=ln|x+1|+\int \frac{(x-2)+9}{(x-2)^2+9}\, dx=\\\\=\Big [\, t=x-2,\; dt=dx\, ,\; x=t+2\Big ]=ln|x+1|+\int \frac{(t+9)dt}{t^2+9}=$

$=ln|x+1|+\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+9}+9\int\frac{dt}{t^2+9}=\\\\=ln|x+1|+\frac{1}{2}\cdot ln|t^2+9|+9\cdot \frac{1}{3}\cdot arctg\frac{t}{3}+C=\\\\=ln|x+1|+\frac{1}{2}\cdot ln|x^2-4x+13|+3\cdot arctg\frac{x-2}{3}+C$