Question

13 задание ЕГЭ (профильная математика)

Решите уравнение
$\sin(x) + \sqrt{ \frac{2 - \sqrt{3} }{2} \times ( \cos(x) + 1) } = 0$

Пожалуйста, очень нужно решение :)

Answer 1

$\sin(x) + \sqrt{ \frac{2 - \sqrt{3} }{2} \times ( \cos(x) + 1)} = 0$

Перенесём sinx в правую часть и учтём ОДЗ:

$- \sin(x) \geqslant 0 \\ \sin(x) \leqslant 0$

В силу неотрицательности обеих частей данного уравнения, возведём обе части в квадрат. При этом применим основное тригонометрическое тождество.


$\sqrt{ \frac{2 - \sqrt{3} }{2} \times ( \cos(x) + 1) } = - \sin(x) \\ \\ \frac{2 - \sqrt{3} }{2} \times ( \cos(x) + 1) = { (\sin(x)) }^{2} \\ \\ \frac{2 - \sqrt{3} }{2} \times ( \cos(x) + 1) = 1 - {( \cos(x) )}^{2} \\ \\ \frac{2 - \sqrt{3} }{2} \times ( \cos(x) + 1) = (1 - {\cos(x))(1 + {\cos(x) }} ) \\ \\ \frac{2 - \sqrt{3} }{2} \times ( \cos(x) + 1) - (1 - {cos(x) } )(1 + {cos(x) )} = 0 \\ \\ ( \cos(x) + 1)( \frac{2 - \sqrt{3} }{2} - 1 + \cos(x) ) = 0 \\ \\ ( \cos(x) + 1)(1 - \frac{ \sqrt{3} }{2} - 1 + \cos(x) ) = 0 \\ \\ ( \cos(x) + 1)( \cos(x) - \frac{ \sqrt{3} }{2} ) = 0 \\ \\ 1) \: \: \cos(x) + 1 = 0 \\ \cos(x) = - 1 \\ x = \pi + 2\pi \: n$
n принадлежит Z


$2) \: \: \cos(x) - \frac{ \sqrt{3} }{2} = 0 \\ \cos(x) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ x = + - \frac{\pi}{6} + 2\pi \: k$

k принадлежит Z


С УЧЁТОМ ОДЗ:

$x = \pi + 2\pi \: n \\ x = - \frac{\pi}{6} + 2\pi \: k$

n , k принадлежит Z



ОТВЕТ:
$\pi + 2\pi \: n \\ - \frac{\pi}{6} + 2\pi \: k$
n , k принадлежат Z