Question

38 б.Помогите очень нужно!!!!!!!Спростіти вираз:1)cos2$\alpha$+sin²$\alpha$
2)$\frac{sin50°}{2cos25°}$
3)$\frac{cos2\alpha }{cos\alpha-sin\alpha }$
4)1-2sin²$\frac{\alpha }{4}$
5)$\frac{sinx^{2} ctg\alpha }{sin2\alpha }$
6)$\frac{sin\alpha cos\alpha }{1-2sinx^{2}\alpha }$
7)cos⁴($\frac{\pi }{4} -\alpha$)-sin⁴($\frac{\pi }{4} -\alpha$)
8)$\frac{tg(45°+\alpha }{1-tgx^{2} (45°+\alpha }$

Answer 1

$1)\; \; cos2a+sin^2a=(\underbrace {cos^2a-sin^2a}_{cos2a})+sin^2a=cos^2a\\\\3)\; \; \frac{cos2a}{cosa-sina}=\frac{cos^2a-sin^2a}{cosa-sina}=\frac{(cosa-sina)(cosa+sina)}{cosa-sina}=cosa+sina\\\\4)\; \; 1-2sin^2\frac{a}{4}=(sin^2\frac{a}{4}+cos^2\frac{a}{4})-2sin^2\frac{a}{4}=cos^2\frac{a}{4}-sin^2\frac{a}{4}=cos\frac{a}{2} \\\\5)\; \; \frac{sin^2a\cdot ctga}{sin2a}=\frac{sin^2a\cdot \frac{cosa}{sina}}{2\cdot sina\cdot cosa}=\frac{sina\cdot cosa}{2\cdot sina\cdot cosa}=\frac{1}{2}$

$2)\; \; \frac{sin50}{2\. cos25}=\frac{2\cdot sin25\cdot cos25}{2\, cos25}=sin25\\\\6)\; \; \frac{sina\cdot cosa}{1-2sin^2a}=\frac{sina\cdot cosa}{(sin^2a+cos^2a)-2sin^2a}=\frac{sina\cdot cosa}{cos^2a-sin^2a}=\frac{\frac{1}{2}sin2a}{cos2a}=\frac{1}{2}\cdot tg2a\\\\7)\; \; cos^4(\frac{\pi}{4}-a)-sin^4(\frac{\pi}{4}-a)=\\\\=\Big (cos^2(\frac{\pi}{4}-a)-sin^2(\frac{\pi}{4}-a)\Big )\cdot \Big (cos^2(\frac{\pi}{4}-a)+sin^2(\frac{\pi}{4}-a)\Big )=\\\\=cos(\frac{\pi}{2}-2a)\cdot 1=sin2a$

$8)\; \; \frac{tg(45+a)}{1-tg^2(45+a)}=\Big [\, tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^2x}\, \Big ]=\frac{1}{2}\cdot tg(90+2a)=-\frac{1}{2}\cdot ctg2a$