Question

Найти рациональные корни уравнения.
(2x^2-1)+x(2x-1)^2=(x+1)^2+16x^2-6

Answer 1

Скорее всего в условии ошибка. Представляю исправленное условие.

$(2x^2-1)^2+x(2x-1)^2=(x+1)^2+16x^2-6\ \ x(2x-1)^2+(2x^2-1)^2-(x+1)^2-16x^2+6=0\ \ x(2x-1)^2+4x^4-4x^2+1-x^2-2x-1-16x^2+6=0\ \ x(2x-1)^2+4x^4-21x^2-2x+6=0\ \ x(2x-1)^2+4x^4-2x^3+2x^3-x^2-20x^2+10x-12x+6=0$

$x(2x-1)^2+2x^3(2x-1)+x^2(2x-1)-10x(2x-1)-6(2x-1)=0\\ x(2x-1)^2+(2x-1)(2x^3+x^2-10x-6)=0\ \ (2x-1)(2x^2-x+2x^3+x^2-10x-6)=0\ \ (2x-1)(2x^3+3x^2-11x-6)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю.

$2x-1=0~~~Rightarrow~~~ boxed{x_1=0.5}$

$2x^3+3x^2-11x-6=0\ \ 2x^3-4x^2+7x^2-14x+3x-6=0\ \ 2x^2(x-2)+7x(x-2)+3(x-2)=0\ \ (x-2)(2x^2+7x+3)=0\ \ x-2=0~~~Rightarrow~~~ boxed{x_2=2}\ \ 2x^2+7x+3=0\\ D=b^2-4ac=7^2-4cdot 2cdot 3=25\ \ x_3=dfrac{-b+sqrt{D}}{2a}=dfrac{-7+5}{2cdot 2}=boxed{-0.5}\ \ x_4=dfrac{-b-sqrt{D}}{2a}=dfrac{-7-5}{2cdot 2}=boxed{-3}$

Если же в условии все в порядке, то решение следующее.

$2x^2-1+x(2x-1)^2=(x+1)^2+16x^2-6\ \ 2x^2-1+xcdot (4x^2-4x+1)=x^2+2x+1+16x^2-6\ \ 4x^3+2x^2-1-4x^2+x-17x^2-2x+5=0\ \ 4x^3-19x^2-x+4=0$

Решим это кубическое уравнение методом Кардано

Поделим обе части последнего уравнения на 4

$x^3-4.75x^2-0.25x+1=0$

Здесь коэффициенты $a=-4.75;~ b=-0.25,~~c=1$

$Q=dfrac{a^2-3b}{9}=dfrac{(-4.75)^2-3cdot (-0.25)}{9}approx2.59\ \ R=dfrac{2a^3-9ab+27c}{54}=dfrac{2cdot (-4.75)^3-9cdot (-4.75)cdot (-0.25)+27cdot 1}{54}approx-3.667$

$S=Q^3-R^2approx 3.931$

Поскольку S > 0 то кубическое уравнение имеет три действительных корня

$phi =dfrac{1}{3}arccosbigg|dfrac{R}{sqrt{Q^3}}bigg|approx 0.882$

$x_1=-2sqrt{Q}cos phi-dfrac{a}{3}approx -0.463\ \ x_2=-2sqrt{Q}cos (phi +frac{2pi}{3})-dfrac{a}{3}approx 4.758\ \ x_3=-2sqrt{Q}cos (phi -frac{2pi}{3})-dfrac{a}{3}approx 0.454$