Составьте каноническое уравнение гиперболы, если ее асимптоты задаются уравнениями x-3y+7=0 и x+3y-5=0 , а одна из директрис совпадает с осью ординат
Ответы
Находим центр гиперболы как точку пересечения асимптот x-3y+7=0 и x+3y-5=0.
x-3y+7=0
x+3y-5=0 Сложим:
2х + 2 = 0. Отсюда х = -2/2 =-1, у = (х + 7)/3 = (-1 + 7)/3 = 2.
Центр - это точка (-1; 2). Директриса по заданию - ось Оу.
Расстояние от центра до директрисы равно а/е = 1, отсюда а = е, где а - это расстояние от центра до вершины.
Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром. Обычно обозначается b.
Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием. Обычно обозначается c.
Отношение в/а равно тангенсу угла α наклона асимптоты к оси Ох.
Из задания следует, что tg α = +-(1/3).
Для гиперболы известно соотношение: в²/а² = е² - 1.
Отсюда находим е и, равное ему а: (1/3)² = е² - 1.
Отсюда е = √((1/9) + 1) = √10/3 = а.
Находим параметр в = а*tg α = (√10/3)*(1/3) = √10/9.
Получаем уравнение гиперболы:
(х + 1)²/(10/9) - (у - 2)²/(10/81) = 1.
