Question

$\lim_{x \to 0} \frac{1-cos6x}{1-cos2x}$
Решите пожалуйста лимит

Answer 1

lim(x→0) (1-cos(6x))/(1-cos(2x))

Неопределённость 0/0.  ⇒

Берём производную одновременно от числителя и знаменателя:

(1-cos(6x))`/(1-cos(2x))`=6*sin(6x)/(2*sin(2x))=3*sin(6x)/sin(2x).

Неопределённость 0/0.

Снова берём производную одновременно от числителя и знаменателя: (3*sin(6x)`/(sin(2x))`=-3*6*cos(6x)/(-2*cos(2x).

lim(x→0) (-18*cos(6x)/(-2*cos(2x)=-18*1/(/-2*1)=-18/(-2)=9.

Answer 2

Метод замены бесконечно малых функций эквивалентными.

$\lim\limits _{x \to 0}\frac{1-cos6x}{1-cos2x}=\Big [\; 1-cos2\alpha =2sin^2\alpha\; \Big ]=\lim\limits _{x\to 0}\frac{2sin^23x}{2sin^2x}=\\\\=\Big [\; sin\alpha \sim \alpha \; ,\; esli\; \alpha \to 0\; \Big ]=\lim\limits _{x \to 0}\frac{(3x)^2}{x^2}=\lim\limits _{x \to 0}\frac{9x^2}{x^2} =9$