Question

$\lim_{x \to-5} \frac{x^{2} +6x+5 }{x^{2} -x-30 }$
Решите пожалуйста лимит

Answer 1

lim(x→-5) ((x²+6x+5)/(x²-x-30)).

Неопределённость 0/0.   ⇒

Возьмём производную одновременно от числителя и знаменателя:

(x²+6x+5)`/(x²-x-30)`=(2x+6)/(2x-1).

lim(x→-5) ((2x+6)/(2x-1)=(2*(-5)+6)/(2*(-5)-1)=(-10+6)/(-10-1)=(-4)/(-11)=4/11.

Answer 2

$\lim\limits _{x \to -5}\frac{x^2+6x+5}{x^2-x-30}=\Big [\, \frac{0}{0}\; \Big ]=\lim\limits _{x \to -5}\frac{(x+5)(x+1)}{(x+5)(x-6)}=\lim\limits _{x \to -5}=\lim\limits_{x \to -5}\frac{x+1}{x-6}=\frac{-5+1}{-5-6}=\frac{4}{11}$

В силу того, что при подстановке х= -5 в квадратные трёхчлены в числителе и в знаменателе, получаем нули, то х=-5 - корень как одного, так и другого квадр. трёхчленов.Значит, второй корень легко найти по теореме Виета:  

$x_1\cdot x_2=q\; \; ,\; \; \; -5\cdot x_2=5\; \to \; \; x_2=-1\\\\-5\cdot x_2=-30\; \; \; \to \; \; \; x_2=6$  .

После нахождения корней, раскладываем квадр. трёхчлены на множители, выделяется одинаковый множитель в числителе и знаменателе, затем  сокращаем дробь.