Question

Пожалуйста!Хоть какой-нибудь пример из этих

Answer 1

$1)\; \int \frac{3x^2-2}{(x+1)(x^2+x+1)}dx=\int \frac{dx}{x+1}+\int \frac{2x-3}{x^2+x+1}dx=ln|x+1|+\int \frac{(2x-3)dx}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} =\\\\=\Big [\, t=x+\frac{1}{2}\; ,\; x=t-\frac{1}{2},\; dx=dt\, \Big ]=ln|x+1|+\int \frac{(2t-4)dt}{t^2+\frac{3}{4}}=\\\\=ln|x+1|+\int \frac{2t\, dt}{t^2+\frac{3}{4}}-4\int \frac{dt}{t^2+\frac{3}{4}}=\\\\=ln|x+1|+ln|t^2+\frac{3}{4}|-4\cdot \frac{2}{\sqrt3}\, arctg\frac{2t}{\sqrt3}+C=\\\\=ln|x+1)+ln|x^2+x+1|-\frac{8}{\sqrt3}\, arctg\frac{2x+1}{\sqrt3}+C\; .$

$2)\; \int \frac{\sqrt[4]{x}-2}{\sqrt[4]{x^3}+2\sqrt{x}}\, dx=\Big [\, x=t^4\; ,\; dx=4t^3\, dt\; ,\; t=\sqrt[4]{x}\, \Big ]=\int \frac{t-2}{t^3+2t^2}\cdot 4t^3\, dt=\\\\=4\cdot \int \frac{t^3(t-2)}{t^2(t+2)}\, dt=4\cdot \int \frac{t(t-2)}{t+2}\, dt=4\cdot \int \frac{t^2-2t}{t+2}\, dt=4\cdot \int (t-4+\frac{8}{t+2})dt=\\\\=4\cdot (\frac{t^2}{2}-4t+8\, ln|t+2|)+C=4\cdot (\frac{\sqrt{x}}{2}-4\sqrt[4]{x}+8\, ln|\sqrt[4]{x}+2|)+C\; .$