Question

Вычислить определенный интеграл:
на фото пожалуйста

Answer 1

2) Ответ: $\int\limits^ \pi_{-\pi} {sin^22x} \, dx =\pi$

Решение

При вычисление интеграла применяем формулу половинного угла

$sin^2(\frac{x}{2} )=\frac{1-cosx}{2}$

$\int\limits^ \pi_{-\pi} {sin^22x} \, dx =\int\limits^ \pi_{-\pi} {\frac{1-cos4x}{2} } \, dx =\frac{1}{2}\int\limits^ \pi_{-\pi} {(1-cos4x)} \, dx =\frac{1}{2}(x-\frac{1}{4}sin(4x))\begin{vmatrix}\ \pi \\-\pi \end{vmatrix}=\pi$

4) Ответ: $\int\limits^\frac{\pi }{8}_0 {(cos^22x-sin^22x)} \, dx=0,25$

Решение

При вычислении интеграла применяем тригонометрическую формулу двойного угла cos(2x) =cos²(x) - sin²(x)

$\int\limits^\frac{\pi }{8}_0 {(cos^22x-sin^22x)} \, dx=\int\limits^\frac{\pi }{8}_0 {cos4x} \, dx=\frac{1}{4} sin4x\begin{vmatrix}\frac{\pi }{8} \\0\end{vmatrix}=\frac{1}{4}sin\frac{\pi }{2} -\frac{1}{4}sin(0)=\frac{1}{4}$