Question

Вычислить пределы, не применяя правило Лопиталя.

Answer 1

$\lim\limits_{x \to 3} \frac{\sqrt{2x - 1} - \sqrt{5}}{5x - 15}\\t = x - 3, x = t + 3\\\lim\limits_{t \to 0} \frac{\sqrt{2t + 5} - \sqrt{5}}{t} = \lim\limits_{t \to 0} \sqrt{5}\frac{\sqrt{1 + \frac{2t}{5}} - 1}{t} =\lim\limits_{t \to 0} \sqrt{5} \frac{t}{5t} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{2x\,tg(4x)}{1 - cos(8x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2x \, tg(4x)}{2sin^2(4x)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{2x\, (4x)}{2 (4x)^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

$\lim\limits_{x \to \infty} \Bigl(\frac{8x - 7}{8x + 3} \Bigr)^{x - 1} = \lim\limits_{x \to \infty}\Bigl(1 + \frac{-10}{8x + 3} \Bigr)^{x - 1} = \lim\limits_{x \to \infty} e^{\frac{-10x + 10}{8x + 3}} = \lim\limits_{x \to \infty} e^{-\frac{10}{8}} = e^{-\frac{10}{8}}$