Question

Способом введения новой переменной решить уравнение 11.1

Answer 1

Первое уравнение.

x⁴ - 5x² + 4 = 0

x² = t - новая переменная

t² - 5t + 4 = 0

D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9 = 3²

$\tt\displaystyle t_1=\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1\\\\\\t_2=\frac{5+3}{2}=\frac{8}{2}=4$

x² = t

x² = 1         или        x² = 4

x = ± 1                      x = ± 2

Ответ: -2; -1; 1; 2

Второе уравнение.

x⁴ - 8x² - 9 = 0

x² = t - новая переменная

t² - 8t - 9 = 0

D = (-8)² - 4 * 1 * (-9) = 64 + 36 = 100 = 10²

$\tt\displaystyle t_1=\frac{8-10}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\\\\\t_2=\frac{8+10}{2}=\frac{18}{2}=9$

x² = t

x² = -1             или            x² = 9

корней нет                      x = ± 3

Ответ: -3; 3

Третье уравнение.

9x⁴ + 23x² - 12 = 0

x² = t - новая переменная

9t² + 23t - 12 = 0

D = 23² - 4 * 9 * (-12) = 529 + 432 = 961 = 31²

$\tt\displaystyle t_1=\frac{-23-31}{2*9}=\frac{-54}{18}=-3\\\\\\t_2=\frac{-23+31}{2*9}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$

x² = t

x² = -3               или        $\tt\displaystyle x^2=\frac{4}{9}$

корней нет                    $\tt\displaystyle x=\pm\ \frac{2}{3}$

Ответ: -2/3; 2/3

Четвёртое уравнение.

16x⁴ - 409x² + 225 = 0

x² = t - новая переменная

16t² - 409t + 225 = 0

D = (-409)² - 4 * 16 * 225 = 167 281 - 14 400 = 152 881 = 391²

$\tt\displaystyle t_1=\frac{409-391}{2*16}=\frac{18}{32}=\frac{9}{16}\\\\\\t_2=\frac{409+391}{2*16}=\frac{800}{32} =25$

x² = t

$\tt\displaystyle x^2=\frac{9}{16}$                   или               x² = 25

$\tt\displaystyle x^2=\pm \ \frac{3}{4}$                                       x = ± 5

$\tt\displaystyle x^2=\pm \ 0,75$

Ответ: -5; -0,75; 0,75; 5