Question

1.)y”-2y’+3y=0
y(0)=1
y’(0)=3
2.)y”’+y”=0
y(0)=3
y’(0)=2
y”(0)=1

Answer 1

$1)\quad y''-2y'+3y=0\\\\k^2-2k+3=0\; \; ,\; \; D/4=1-3=-2\; ,\; \; k_{1,2}=1\pm i\sqrt2\\\\y_{obshee}=e^{x}\cdot (C_1\cdot cos\sqrt2x+C_2\cdot sin\sqrt2x)\\\\y(0)=1\; ,\; \; 1=e^0\cdot (C_1\cdot 1+C_2\cdot 0)\; ,\; \; C_1=1\\\\y'=e^{x}\cdot (C_1cos\sqrt2x+C_2sin\sqrt2x)+e^{x}\cdot (-\sqrt2C_1\cdot sin\sqrt2x+\sqrt2C_2\cdot cos\sqrt2x)=\\\\=e^{x}\cdot \Big ((C_1+\sqrt2C_2)\cdot cos\sqrt2x+(C_2-\sqrt2C_1)\cdot sin\sqrt2x\Big )\\\\y'(0)=3\; ,\; \; 3=e^0\cdot (C_1+\sqrt2C_2)\; \; ,\; \; 3=1+\sqrt2C_2\; \; ,\; \; C_2=\sqrt2$

$y_{chastn.}=e^{x}\cdot (cos\sqrt2x+\sqrt2\cdot sin\sqrt2x)\\\\2)\; \; y'''+y''=0\\\\k^3+k^2=0\; ,\; \; k^2\cdot (k+1)=0\; ,\; \; k_1=k_2=0\; ,\; k_3=-1\\\\y_{obshee}=e^{0\cdot x}(C_1+C_2x)+C_3e^{-x}=C_1+C_2x+C_3e^{-x}\\\\y(0)=3\; ,\; \; 3=C_1+C_3\\\\y'(x)=C_2-C_3e^{-x}\; \; ,\; \; y'(0)=2\; ,\; \; 2=C_2-C_3\\\\y''(x)=C_3e^{-x}\; \; ,\; \; y''(0)=1\; ,\; \; 1=C_3\\\\2=C_2-1\; \; \to \; \; C_2=3\\\\3=C_1+1\; \; \to \; \; C_1=2\\\\y_{chastn.}=2+3x+e^{-x}$