Question

помогите решить лимит

Answer 1

$y=(ctgx)^{\frac{1}{lnx}}\; \; ,\; \; lny=ln(ctgx)^{\frac{1}{lnx}}=\frac{1}{lnx}\cdot ln(ctgx)\\\\\lim\limits _{x\to 0+0}\, ln\, y(x)=\lim\limits _{x \to 0+0}\, \frac{ln(ctgx)}{lnx}=\Big [\; Lopital\; ]=\\\\=\lim\limits _{x \to 0+0}\frac{(1/ctgx)\cdot (-1/sin^2x)}{1/x}=\lim\limits _{x \to 0+0}\frac{-x\cdot tgx}{sin^2x}=\Big [\; tgx\sim x\; ,\; sinx\sim x\; \Big ]=\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\frac{-x\cdot x}{x^2}=-1\; \; \Rightarrow \\\\ \lim\limits _{x\to 0+0}\, y(x)=\lim\limits _{x \to 0+0} (ctgx)^{\frac{1}{lnx}}=e^{-1}$