Question

(Решите дифференциальные уравнения с разделяющими перемеными и найти их частные

(x×y^2+y^2)dx +(x^2-x^2×y)dy=0 y=1, x=1

Answer 1

$(xy^2 + y^2)dx + (x^2 - x^2y)dy = 0\\(xy^2 + y^2)dx = (x^2y - x^2)dy\\y^2(x + 1)dx = x^2(y - 1)dy, \text{ Let }x, y \neq 0\\\frac{x + 1}{x^2}dx = \frac{y - 1}{y^2}dy\\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})dx = (\frac{1}{y} - \frac{1}{y^2})dy \Rightarrow \int {(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})} \, dx = \int {(\frac{1}{y} - \frac{1}{y^2})} \, dy\\\ln(x) - \frac{1}{x} + c_1 = \ln(y) + \frac{1}{y}$

$\ln(ye^{1/y}) = \ln(xe^{-1/x + c_1})\\ye^{1/y} = xe^{c_1 - 1/x}\\-\frac{1}{y} e^{-1/y} = -\frac{e^{1/x + c_2}}{x}, \quad (c_1 = -c_2)\\\text{t = W(x) --- Lambert function --- solution of }te^t = x\\-\frac{1}{y} = W(-\frac{e^{1/x + c_2}}{x}) \Rightarrow y = -\displaystyle{1 \over{W(-\frac{e^{1/x + c_2}}{x})}}$

Найдём частное решение:

$1 = -\displaystyle{1 \over{W(-\frac{e^{1/1 + c_2}}{1})}} \Rightarrow W(-\frac{e^{1/1 + c_2}}{1}) = -1 \Rightarrow -e^{-1} = -e^{1 + c_2} \Rightarrow c_2 = -2$

Откуда имеем: $y = -\displaystyle{1 \over{W(-\frac{e^{1/x - 2}}{x})}}$