Question

$\frac{x^{3}-2x^{2}-5x+6}{x-2}$ меньше 0

Answer 1

Дано неравенство $\frac{x^3-2x^2-5x+6}{x-2} <0.$

Рассмотрим числитель и разложим его на множители, приравняв нулю.

х³ - 2х² - 5х + 6 = 0.

Из множителей свободного члена находим корень х = 1.

Разделим выражение на х - 1:

х³ - 2х² - 5х + 6| x - 1

х³ - х²                  x² - x - 6

    -x² - 5x

    -x² +  x          

          - 6x + 6

          - 6x + 6

                 0.            

х³ - 2х² - 5х + 6 = (х - 1)(x² - x - 6).

Разложим квадратный трёхчлен:

x² - x - 6 = 0.

Ищем дискриминант:

D=(-1)^2-4*1*(-6)=1-4*(-6)=1-(-4*6)=1-(-24)=1+24=25;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√25-(-1))/(2*1)=(5-(-1))/2=(5+1)/2=6/2=3;

x_2=(-√25-(-1))/(2*1)=(-5-(-1))/2=(-5+1)/2=-4/2=-2.

Теперь заданное неравенство можно представить в виде:

$\frac{(x-1)(x-3)(x+2)}{x-2} <0.$

Метод интервалов с учётом, что в точке х = 2 функция терпит разрыв:

          -2         1         2         3

_____|_____|_____|_____|_____

  +          -         +             -           +

    Ответ: x ∈ [-2; 1] ∪ (2; 3]

или так:   -2 ≤ x ≤ 1,  2 < x ≤ 3.