Question

найти объем тела образованного вращением вокруг оси ox кривой y=sin^2x промежутке от x=0 до x=pi с рисунком

Answer 1

$V=\pi \int\limits_a^b\, f^2(x)\, dx=\pi \int\limits^{\pi }_0\, (sin^2x)^2\, dx=\pi \int\limits^{\pi }_0\Big ( \frac{1-cos2x}{2}\Big )^2 dx=\\\\=\frac{\pi }{4}\int\limits^{\pi }_0\, (1-2cos2x+cos^22x)\, dx=\frac{\pi }{4}\cdot (x-2\cdot \frac{sin2x}{2})\Big |_0^{\pi }+\frac{\pi }{4}\int\limits^{\pi }_0\frac{1+cos4x}{2}\, dx=\\\\=\frac{\pi }{4}\cdot (x-sin2x)\Big |_0^{\pi }+\frac{\pi }{8}(x+\frac{1}{4}\cdot sin4x)\Big |_0^{\pi }=\frac{\pi }{4}\cdot \pi +\frac{\pi }{8}\cdot \pi =\frac{3\pi ^2}{8}$