Question

найдите все целые k,n и простые p, для которых p^k+16=n²

Answer 1

Ответ:

$p=3,\; k=2, \; n=5$

Пошаговое объяснение:

Перенесём 16 в правую часть уравнения. Получим $p^{k}=(n-4)(n+4)$; Делителями числа $p^{k}$ являются числа $p^{i}, \; i=0,\;1,\;...\;k$, так как p - простое число;

Пусть тогда $n-4=p^{\alpha },\; n+4=p^{\beta}$;

Заметим, что $(n+4)-(n-4)=8=p^{\alpha}(p^{\beta - \alpha} -1)$; Из равенства следует, что p нечетно. Тогда $p^{\alpha}=1 \Leftrightarrow \alpha = 0$; Отсюда $p^{\beta} = 9 \Rightarrow p=3,\; \beta =2$; Поскольку $k=\alpha +\beta$, то k=2; p=3; n=5