Question

$1)y = {x}^{3} - 8x + 2$
экстремум?

2)у=х⁴-2х²+3, экстремум

3)экстремум?
$3)y = \frac{ {e}^{x} }{ {x}^{2} - 2x + 1 }$
4)экстремум?
у=х⁴-8х²+2

Answer 1

$1)\; \; y=x^3-8x+2\\\\y'=3x^2-8=0\; ,\; \; (\sqrt3x-\sqrt8)(\sqrt3x+\sqrt8)=0\; \; ,\; \; x=\pm \sqrt{\frac{8}{3}}\; ,\\\\znaki\; y':\; \; +++(-\sqrt{\frac{8}{3}})---(\sqrt{\frac{8}{3}})+++\\\\x_{max}=-\sqrt{\frac{8}{3}}}\; \; ,\; \; x_{min}=\sqrt{\frac{8}{3}}\\\\y(-\sqrt{\frac{8}{3}})=-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{8}{3}}+8\cdot \sqrt{\frac{8}{3}}+2\; \; ,\; y(\sqrt{\frac{8}{3}})=\frac{2}{3}\cdot \sqrt{\frac{8}{3}}-8\cdot \sqrt{\frac{8}{3}}+2\\\\2)\; \; y=x^4-2x^2+3\\\\y'=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)=0\\\\x_1=0\; ,\; \; x_2=-1\; ,\; x_3=1\\\\znaki\; y':\; \; ---(-1)+++(0)---(1)+++\\\\x_{min}=-1\; ,\; x_{min}=1\; ,\; \; x_{max}=0\\\\y(-1)=y(1)=2\\\\4)\; \; y=x^4-8x^2+2\\\\y'=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)=0$

$x_1=0\; ,\; \; x_1=-2\; ,\; \; x_2=2\\\\znaki\; y':\; \; ---(-2)+++(0)---(2)+++\\\\x_{min}=-2\; ,\; \; x_{min}=2\; ,\; \; x_{max}=0\\\\y(-2)=y(2)=-14\; ,\; \; y(0)=2\\\\3)\; \; y=\frac{e^{x}}{x^2-2x+1}=\frac{e^{x}}{(x-1)^2}\; ,\; \; ODZ:\; x\ne 1\\\\y'=(\frac{e^{x}}{(x-1)^2})'=\frac{e^{x}(x-1)^2-e^{x}\cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}=\frac{e^{x}\cdot (x-1)\cdot (x-1-2)}{(x-1)^4}=\frac{e^{x}(x-3)}{(x-1)^3}=0\\\\e^{x}>0\; ,\; \; x-3=0\; \; \to \; \; x=3\; ,\; \; x\ne 1\\\\znaki\; y':\; \; +++(1)---(3)+++\; ,\; \; x\ne 1\\\\x_{min}=3\; ,\; \; y_{min}=y(3)=\frac{e^3}{4}$