Question

Помогите решить уравнение (полное решение) 6ой номер

Answer 1

$(\sqrt{2} -1)^x+(\sqrt{2} +1)^x-2=0$

Заметим, что  $(\sqrt{2} -1)(\sqrt{2} +1)=1$.  Значит, выражения $\sqrt{2} -1$  и  $\sqrt{2} +1$  являются взаимно обратными.  Тогда  $\sqrt{2} -1=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$

Исходное уравнение будет равносильно:

$(\sqrt{2} -1)^x+\frac{1}{(\sqrt{2} -1)^x} -2=0$

Замена:   $(\sqrt{2} -1)^x=t,$   $t>0$

$t+\frac{1}{t} -2=0$

$t^2-2t+1=0$

$(t-1)^2=0$

$t=1$

Обратная замена:

$(\sqrt{2} -1)^x=1$

$(\sqrt{2} -1)^x=(\sqrt{2} -1)^0$

$x=0$

Ответ:  $0$