Question

Найти производную:
$1)y = {e}^{x} (sinx - cos2x)$
$2)y = \sqrt{sinx} \times {e}^{ - 2x}$
$3)y = 3 ln(cosx)$

Answer 1

Первые 2 находим по формуле u` * v + v` * u

1) y` = eˣ(sinx - cos2x) + eˣ(cosx + 2sin2x)

Выносим еˣ за скобки y` = eˣ(sinx - cos2x + cosx + 2sin2x)

2) y` = cosx/2(sinx)^(1/2) * e^(-2x) - 2e^(-2x) * (sinx)^(1/2)

Выносим е^(-2x) за скобки y` = e^(-2x)*(cosx/2(sinx)^(1/2) - sinx^(1/2)) =

e^(-2x)*((cosx-sinx)/2(sinx)^(1/2))

3) y` = 3*(1/cosx)*(-sinx) = -3tgx

Answer 2

$1)\; \; y=e^{x}\cdot (sinx-cos2x)\\\\y'=(e^{x})'\cdot (sinx-cos2x)+e^{x}\cdot (sinx-cos2x)'=\\\\=e^{x}\cdot (sinx-cos2x)+e^{x}\cdot (cosx+2\, sin2x)=\\\\=e^{x}\cdot (sinx-cos2x+cosx+2\, sin2x)\\\\2)\; \; y=\sqrt{sinx}\cdot e^{-2x}\\\\\star \; \; (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\;,\; u=sinx\; ;\; \; (e^{u})'=e^{u}\cdot u'\; ,\; u=-2x\; \star \\\\y'=(\sqrt{sinx})'\cdot e^{-2x}+\sqrt{sinx}\cdot (e^{-2x})'=\\\\=\frac{cosx}{2\sqrt{sinx}}\cdot e^{-2x}+\sqrt{sinx}\cdot (-2e^{-2x})=e^{-2x}\cdot \Big (\frac{cosx}{2\sqrt{sinx}}-2\sqrt{sinx}\Big )\\\\3)\; \; y=3\, ln(cosx)\; ,\; \; \; (lnu)'=\frac{u'}{u}\; ,\; u=cosx\\\\y'=3\cdot \frac{-sinx}{cosx}=-3\cdot tgx$