Question

Номер 240, помогите решить.

Answer 1

Ответ:

(0; -3) - точка минимума

Пошаговое объяснение:

$z = (x^2 + 6y)e^{\frac{y}{3} }\\\\\dfrac{dz}{dx} =2xe^{\frac{y}{3} }=0\\\\\dfrac{dz}{dy}= \frac{1}{3}x^2e^{\frac{y}{3} }+6e^{\frac{y}{3} }+2ye^{\frac{y}{3} }=0\\\\x=0\\2y+6=0\\y=-3$

Критическая точка: (0; -3)

$\dfrac{d^2z}{dx^2} =2e^{\frac{y}{3} }\\\\\dfrac{d^2z}{dxdy} =\frac{2}{3} xe^{\frac{y}{3} }\\\\\dfrac{d^2z}{dy^2} =(\frac{1}{9} x^2+\frac{2}{3}y+4)e^{\frac{y}{3} }\\\\A=2e^{\frac{-3}{3} }=2e^{-1}>0\\\\B=\frac{2}{3} *0*e^{\frac{-3}{3} }=0\\\\C=(-2+4)e^{-1}=2e^{-1}\\\\AC-B^2=4e^{-2}>0$

Значит, точка (0; -3) - точка минимума