Question

Вечер добрый!
Проходим сейчас логарифмы. Не могу решить одно задание. Такие примеры:
1)
$(2 - x) lg(x) > 0$

2)
$(5 - x) log_{4}(x) > 0$
3)
$(x - 3) log_{3}(x) > 0$
4)
$(1 - x) log_{4}(x) > 0$

Answer 1

$1)\; \; (2-x)\cdot lgx>0\; ,\; \; ODZ:\; x>0\; .$

Произведение больше 0, если оба множителя одного знака (либо оба больше нуля, либо оба меньше нуля).

Учтём, что логарифм десятичный - возрастающая функция, и поэтому знак неравенства между логарифмическими функциями будет таким же, как и между аргументами десятичных логарифмов.

$\left \{ {{2-x>0} \atop {lgx>0\; ,\; x>0}} \right. \; \; \; ili\; \; \; \left \{ {{2-x<0} \atop {lgx<0\; ,\; x>0}} \right.\\\\\left \{ {{2>x} \atop {lgx>lg1\; ,\; x>0}} \right.\; \; \; ili\; \; \; \left \{ {{2<x} \atop {lgx<lg1\; ,\; x>0}} \right.\\\\\left \{ {{x<2} \atop {x>1\; ,\; x>0}} \right.\; \; \; ili\; \; \; \left \{ {{x>2} \atop {x<1\; ,\; x>0}} \right. \\\\x\in (1,2)\qquad ili\qquad x\in \varnothing \\\\Otvet:\; \; x\in (1,2)\; .$

$2)\; \; (5-x)\cdot log_4x>0\; ,\; \; ODZ:\; x>0\\\\\left \{ {{5-x>0} \atop {log_4x>0\; ,\; x>0}} \right.\; \; \; ili\; \; \; \left \{ {{5-x<0} \atop {log_4x<0}} \right.\\\\\left \{ {{x<5} \atop {x>1\; ,\; x>0}} \right.\; \; \; ili\; \; \; \left \{ {{x>5} \atop {x<1\; ,\; x>0}} \right. \\\\x\in (1,5)\qquad ili\qquad x\in \varnothing \\\\Otvet:\; \; x\in (1,5)\; .\\\\3)\; \; (x-3)\cdot log_3x>0\; \; ,\; \; ODZ:\; x>0$

$\left \{ {{x-3>0} \atop {log_3x>0\; ,\; x>0}} \right.\; \; \; ili\; \; \; \left \{ {{x-3<0} \atop {log_3x<0\; ,\; x>0}} \right.\\\\\left \{ {{x>3} \atop {x>1\; ,\; x>0}} \right.\; \; \; ili\; \; \; \left \{ {{x<3} \atop {x<1\; ,\; x>0}} \right. \\\\x>3\qquad ili\qquad x\in (0,1)\\\\Otvet:\; \; x\in (0,1)\cup (3,+\infty )$

$4)\; \; (1-x)\cdot log_4x>0\; ,\; \; \; ODZ:\; x>0\\\\(1-x)\cdot log_4x>0\; \; ,\; \; ODZ:\; x>0\\\\\left \{ {{1-x>0} \atop {log_4x>0\; ,\; x>0}} \right.\; \; \; ili\; \; \; \left \{ {{1-x<0} \atop {log_4x<0\; ,\; x>0}} \right.\\\\\left \{ {{x<1} \atop {x>1\; ,\; x>0}} \right.\; \; \; ili\; \; \; \left \{ {{x>1} \atop {x<1\; ,\; x>0}} \right.\\\\\left \{ {{x<1} \atop {x>1}} \right. \quad ili\; \; \; \left \{ {{x>1} \atop {0<x<1}} \right. \\\\x\in \varnothing \qquad ili\qquad x\in \varnothing \\\\Otvet:\; \; x\in \varnothing \; .$